Translation et vecteurs de l'espace

Définition

Soit \(\text A\) et \(\text B\) deux points de l'espace. La transformation qui à tout point \(\text C\) de l'espace associe le point \(\text D\) de l'espace tel que \(\text A\text B\text D\text C\) est un parallélogramme (éventuellement aplati) est la translation de vecteur  \(\overrightarrow{\text A\text B}\) .

Propriété

Soit \(\text A\) , \(\text B\) et \(\text C\) trois points de l'espace. Soit \(\text D\) l'image de \(\text C\) par la translation de vecteur  \(\overrightarrow{\text A\text B}\) .
Alors, les vecteurs  \(\overrightarrow{\text A\text B}\)  et  \(\overrightarrow{\text C\text D}\)  sont égaux. Les vecteurs   \(\overrightarrow{\text A\text B}\) et  \(\overrightarrow{\text C\text D}\)   sont des représentants d'un même vecteur.

Remarques

Si  \(\text A\) et  \(\text B\) sont distincts, le vecteur  \(\overrightarrow{\text A\text B}\)  est caractérisé par :

• sa direction (celle de la droite \((\text A\text B)\) ) ;
  
• son sens (de \(\text A\) vers \(\text B\) ) ;
  
• sa norme, notée  \(||\overrightarrow{\text A\text B}||\) , qui est la longueur  \(\text A\text B\) .
  

Si  \(\text A\) et  \(\text B\) sont confondus, le vecteur  \(\overrightarrow{\text A\text B}\)  est le vecteur nul. On le note \(\overrightarrow{0}\) .

Propriété

Soit \(\overrightarrow{\text A\text B}\)  et  \(\overrightarrow{\text C\text D}\) deux vecteurs de l'espace, différents du vecteur nul. Les vecteurs \(\overrightarrow{\text A\text B}\)  et  \(\overrightarrow{\text C\text D}\) sont égaux si et seulement s'ils ont même direction, même sens et même longueur.

Propriété

Soit \(\text A\) un point de l'espace et  \(\overrightarrow{u}\) un vecteur de l'espace. Il existe un unique point \(\text M\) de l'espace tel que \(\overrightarrow{\text A\text M}=\overrightarrow{u}\) .